Shun Shimomura 研究室

本研究室では、Painlevé方程式という特殊な非線形微分方程式の解の性質を数学的に解明することを目指しています。Painlevé方程式は古典的な微分方程式論で現れ、物理学や統計力学など様々な分野の現象を記述する重要な方程式です。研究の中心課題は、これらの方程式の一般解が無限遠点の近くでどのような振る舞いをするかを明らかにすることです。 解析の手法として、isomonodromy変形と呼ばれる理論を活用しています。これは線形系の特性データ（モノドロミー）を保存しながら系を変形させる方法で、非線形方程式の構造を理解する強力な道具です。また、WKB解析やRiemann-Hilbert問題の解法といった複素解析的な技法を組み合わせて、解の漸近展開式を導出しています。 主要な発見として、複数のPainlevé方程式について、その一般解が無限遠点近傍で楕円関数（Jacobi関数やWeierstrass関数）によって表現できることを示しました。さらに、この漸近表現の誤差項について明示的な公式を得て、その大きさを定量的に評価することに成功しています。これらの結果は理論的な予想を確認し、非線形現象の深い理解につながる知見をもたらしています。